【摘要】“运用数学的思维方式进行思考”，“教师不仅要做一题多解和多题归一，更要做解题分析的反思。前者是将‘题’作为研究对象，后者是将‘解题活动’作为研究对象，不仅关注如何获得解法，更加关注对解法的进一步分析的基础上优化认知结构、提高思维品质、学会数学的思维”。

【关键词】一题多解；一题多变

义务教育《数学课程标准》指出数学学习要“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。“一题多解、一题多变”对于提高学生的数学思维能力，将《课标》的要求落到实处起重要的作用。

本文仅研究以圆、正方形为载体的一题多解、一题多变。

一、基于圆的一题多解、一题多变

（一）平行与垂直（北师大版九年级下册P104页第5题）

如图，在直径为AB的⊙O中，∠DAB=30°，∠COD=60°，OD//AC吗？为什么？

1.一题多解

方法一：证内错角相等，两直线平行。即证∠DAO=∠ADO证∠ACO=∠COD

方法二：证同位角相等，两直线平行。”即证∠CAO=∠DOB

比较上述解法，显然即证∠DAO=∠ADO再得两直线平行，这种方法最简单。通过对不同解法的分析、比较，进一步优化认知结构、学会数学思考、提高思维品质。

2.一题多变

变式1：条件不变，改变结论。证明四边形ACDO是菱形。

变式2：条件不变，改变结论。证明四边形COBD是菱形。

变式3：改变条件，改变结论。

如图，在⊙O中，E是半径CO的中点，弦AB⊥CO。

求证：四边形ACBO是菱形。

变式4：改变条件，改变结论。（顺德区2020-2021学年度第二学期九年级一模第20题）

如图所示，M是⊙O的半径OA的中点，弦BC⊥AO于点M。过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，连接AC。

（1）求∠OAC的值

（2）求证：CD是是⊙O的切线。

通过一题多变，使学生掌握知识之间的内在联系和规律，提高学习效率和解题能力。

（二）双切线与平行（北师大版九年级下册P121页第14题）

已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径。求证：AC//OP。

1.一题多解

方法一：证同位角或内错角相等，两直线平行。即证：∠C=∠POB或证∠CAO=∠AOP

方法二：证同位角或内错角相等或同旁内角互补，

两直线平行。即：先连接AB，证OP⊥AB；∠CAB=∠ODB或∠CAB=∠ADP或∠CAB+∠ADO=180°

2.一题多变

变式：改变条件，改变结论。（广东2018中考）

如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E。

（1）证明：OD//BC；

（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；

（3）在（2）的条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长。

（三）关于“隐圆”

1.圆的概念（定点+定长+动点）（广东2020中考第17题）

有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉。

把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2。在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 。

2.变式1：改变条件，过程类似（定点+定长+动点）。（顺德区2021学年度第二学期九年级素养监测第17题）

如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，tanA=2/3，

将ΔABC绕点C顺时针旋转得到ΔA′B′′C′′，点A的对应点为A′。若P为A′B′的中点，连接BP，则线段BP长度的最大值为 。

变式2：改变条件，过程类似（定角+定长+动点）。（广东2021中考第17题）

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3。点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 。

变式3：改变条件，过程类似（定点+定长+动点）。（广东2021中考第10题）

设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2的两个动点，且OA⊥OB。连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）

二、基于正方形的一题多变、一题多解

（一）正方形+正三角形（顺德区2021-2022学年度第一学期九年级期末质量检测题第18题），在此侧重一题多变。

如图，正方形ABCD内有一等边三角形BCE，直线DE交AB于点H，过点E作直线GF⊥DH交BC于点G，交AD于点F。以下结论：①∠CEG=15°；②AF=DF；③BH=3AH；④BE=HE+GE；正确的有 。

思路：这是多结论问题，一般要用多个图形分析。

解题关键是：结论④对错的判断，出现BE的形式，很可能与等腰直角三角形有关，以BE为直角边构造等腰直角三角形，结合题意，点B为直角的顶点。

研究一道题，不仅要研究一题多解，还要研究各种解法之间的关联、数学思考之间的关联，也要研究一题多变，研究母题。

母题：以下是北师大版教材九年级上册习题1.7第2题（第22页）

如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数。

变式1（旋转）：

以下是教材九年级上册（北师大版）总复习第3题（第173页）

已知，如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，求证∠CEF=∠CFE。

变式2（折叠）：

如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AED的度数。

变式3（正方形+等腰三角形）：

以下是北师大版教材九年级上册第一章复习题第6题（第26页）

如图，四边形ABCD是一个正方形中，E是BC延长线上一点，且AC=EC，求∠DAE的度数。

变式4（菱形+等边三角形）：

（2022年顺德区期末检测第17题）如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE。若∠ABC=100°，则∠DEA的大小为 。

（二）正方形与折叠（2021年广东中考23题）

如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点。连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长。

1.一题多变

条件不变，结论改变

变式1：求GB的长。

变式2：求FG的长。

变式3：求过点F的双曲线的表达式。

变式4：（顺德区2021-2022学年度第一学期九年级期末质量检测题第12题）

如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将ΔOCD沿着CD折叠得到ΔECD，CE与OB交于点F。若反比例函数的图象经过点F，则m的值为（ ）

A. B. C. D.

2.一题多解

以变式4为例

方法一：“二次折叠”＋“一次相似”

思路：由题意易知“一次折叠”（将ΔOCD沿着CD折叠得到ΔECD），可能有“二次折叠”（延长CE交AB于点G，连结DG，易证ΔDAG≌ΔDEG，相当将ΔDAG沿着DG折叠得到ΔDEG）。

解题关键是：由题意易知“一次折叠”，可能有“二次折叠”。

方法二：“三次相似”

思路：由图形性质易知：延长CE交AB于点G，交y轴于点M；易证ΔMAG∽ΔMOC，ΔMAG∽ΔMED，进一步得到两个等式，联立方程组，求出AG的长；由ΔOFC∽ΔBFG得对应高的比等于相似比求出点F的坐标，即可求m的值。

解题关键是：由题意易知“二次相似”，得到两个等式，联立方程组，求出AG的长。

方法三：“解方程组得点F的坐标”

思路：由方法二得AG=1，，解由直线MC与直线

OB组成的方程组，得点F的坐标，即可求m的值。

解题关键是：求得AG=1，。