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浅谈圆、正方形的一题多解、一题多变

作者:欧阳云伟 字数:3201  点击:

【摘要】“运用数学的思维方式进行思考”,“教师不仅要做一题多解和多题归一,更要做解题分析的反思。前者是将‘题’作为研究对象,后者是将‘解题活动’作为研究对象,不仅关注如何获得解法,更加关注对解法的进一步分析的基础上优化认知结构、提高思维品质、学会数学的思维”。

【关键词】一题多解;一题多变

义务教育《数学课程标准》指出数学学习要“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。“一题多解、一题多变”对于提高学生的数学思维能力,将《课标》的要求落到实处起重要的作用。

本文仅研究以圆、正方形为载体的一题多解、一题多变。

一、基于圆的一题多解、一题多变

(一)平行与垂直(北师大版九年级下册P104页第5题)

如图,在直径为AB的⊙O中,∠DAB=30°,∠COD=60°,OD//AC吗?为什么?

1.一题多解

方法一:证内错角相等,两直线平行。即证∠DAO=∠ADO证∠ACO=∠COD

方法二:证同位角相等,两直线平行。”即证∠CAO=∠DOB

比较上述解法,显然即证∠DAO=∠ADO再得两直线平行,这种方法最简单。通过对不同解法的分析、比较,进一步优化认知结构、学会数学思考、提高思维品质。

2.一题多变

变式1:条件不变,改变结论。证明四边形ACDO是菱形。

变式2:条件不变,改变结论。证明四边形COBD是菱形。

变式3:改变条件,改变结论。

如图,在⊙O中,E是半径CO的中点,弦AB⊥CO。

求证:四边形ACBO是菱形。

变式4:改变条件,改变结论。(顺德区2020-2021学年度第二学期九年级一模第20题)

如图所示,M是⊙O的半径OA的中点,弦BC⊥AO于点M。过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D,连接AC。

(1)求∠OAC的值

(2)求证:CD是是⊙O的切线。

通过一题多变,使学生掌握知识之间的内在联系和规律,提高学习效率和解题能力。

(二)双切线与平行(北师大版九年级下册P121页第14题)

已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的两条切线,A和B为切点,BC为直径。求证:AC//OP。

1.一题多解

方法一:证同位角或内错角相等,两直线平行。即证:∠C=∠POB或证∠CAO=∠AOP

方法二:证同位角或内错角相等或同旁内角互补,

两直线平行。即:先连接AB,证OP⊥AB;∠CAB=∠ODB或∠CAB=∠ADP或∠CAB+∠ADO=180°

2.一题多变

变式:改变条件,改变结论。(广东2018中考)

如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E。

(1)证明:OD//BC;

(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切;

(3)在(2)的条件下,连接BD交⊙O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长。

(三)关于“隐圆”

1.圆的概念(定点+定长+动点)(广东2020中考第17题)

有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉。

把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2。在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 。

2.变式1:改变条件,过程类似(定点+定长+动点)。(顺德区2021学年度第二学期九年级素养监测第17题)

如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=6,tanA=2/3,

将ΔABC绕点C顺时针旋转得到ΔA′B′′C′′,点A的对应点为A′。若P为A′B′的中点,连接BP,则线段BP长度的最大值为 。

变式2:改变条件,过程类似(定角+定长+动点)。(广东2021中考第17题)

在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3。点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为 。

变式3:改变条件,过程类似(定点+定长+动点)。(广东2021中考第10题)

设O为坐标原点,点A、B为抛物线y=x2的两个动点,且OA⊥OB。连接点A、B,过O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值( )

二、基于正方形的一题多变、一题多解

(一)正方形+正三角形(顺德区2021-2022学年度第一学期九年级期末质量检测题第18题),在此侧重一题多变。

如图,正方形ABCD内有一等边三角形BCE,直线DE交AB于点H,过点E作直线GF⊥DH交BC于点G,交AD于点F。以下结论:①∠CEG=15°;②AF=DF;③BH=3AH;④BE=HE+GE;正确的有 。

思路:这是多结论问题,一般要用多个图形分析。

解题关键是:结论④对错的判断,出现BE的形式,很可能与等腰直角三角形有关,以BE为直角边构造等腰直角三角形,结合题意,点B为直角的顶点。

研究一道题,不仅要研究一题多解,还要研究各种解法之间的关联、数学思考之间的关联,也要研究一题多变,研究母题。

母题:以下是北师大版教材九年级上册习题1.7第2题(第22页)

如图,四边形ABCD是正方形,△CBE是等边三角形,求∠AEB的度数。

变式1(旋转):

以下是教材九年级上册(北师大版)总复习第3题(第173页)

已知,如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,求证∠CEF=∠CFE。

变式2(折叠):

如图,四边形ABCD是正方形,△CBE是等边三角形,求∠AED的度数。

变式3(正方形+等腰三角形):

以下是北师大版教材九年级上册第一章复习题第6题(第26页)

如图,四边形ABCD是一个正方形中,E是BC延长线上一点,且AC=EC,求∠DAE的度数。

变式4(菱形+等边三角形):

(2022年顺德区期末检测第17题)如图,在菱形ABCD外侧作等边△CBE,连接DE、AE。若∠ABC=100°,则∠DEA的大小为 。

(二)正方形与折叠(2021年广东中考23题)

如图,边长为1的正方形ABCD中,点E为AD的中点。连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长。

1.一题多变

条件不变,结论改变

变式1:求GB的长。

变式2:求FG的长。

变式3:求过点F的双曲线的表达式。

变式4:(顺德区2021-2022学年度第一学期九年级期末质量检测题第12题)

如图,正方形OABC的边长为4,点D是OA边的中点,连接CD,将ΔOCD沿着CD折叠得到ΔECD,CE与OB交于点F。若反比例函数的图象经过点F,则m的值为( )

A. B. C. D.

2.一题多解

以变式4为例

方法一:“二次折叠”+“一次相似”

思路:由题意易知“一次折叠”(将ΔOCD沿着CD折叠得到ΔECD),可能有“二次折叠”(延长CE交AB于点G,连结DG,易证ΔDAG≌ΔDEG,相当将ΔDAG沿着DG折叠得到ΔDEG)。

解题关键是:由题意易知“一次折叠”,可能有“二次折叠”。

方法二:“三次相似”

思路:由图形性质易知:延长CE交AB于点G,交y轴于点M;易证ΔMAG∽ΔMOC,ΔMAG∽ΔMED,进一步得到两个等式,联立方程组,求出AG的长;由ΔOFC∽ΔBFG得对应高的比等于相似比求出点F的坐标,即可求m的值。

解题关键是:由题意易知“二次相似”,得到两个等式,联立方程组,求出AG的长。

方法三:“解方程组得点F的坐标”

思路:由方法二得AG=1,,解由直线MC与直线

OB组成的方程组,得点F的坐标,即可求m的值。

解题关键是:求得AG=1,。


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