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《微分方程数值解》课程的教学方法浅探

作者:王廷春 字数:2363  点击:

摘要:根据多年来的教学实践,本文对《微分方程数值解》课程的教学内容和教学方法进行了探讨,强调偏微分方程的物理背景和数值算法的实际应用,以及教师的科研与教学相结合的重要性。

关键词:微分方程数值解;物理背景;实践应用;教学科研相结合

中图分类号:G642.4 文献标识码:A 文章编号:1672-1578(2018)10-0264-01

1.引言

《微分方程数值解》是信息与计算科学专业的一门高年级学位课,也往往是数学与应用数学专业的一门专业选修课,同时也是理工科研究生的选修课程。在学习这门课程之前,学生需要预修的课程包括《常微分方程》、《偏微分方程》、《泛函分析》和《数值分析》等诸多数学课程。从应用的角度来看,本门课程就是通过数值(或近似)方法对物理、工程、化学、生物和经济等各个领域中出现的微分方程模型进行近似求解,因而具有很强的实用性。《微分方程数值解》作为数学专业的一门传统课程,这门课程的知识点成熟,由模型方程的导出到算法设计,再到算法的稳定性和收敛性分析,最后到编程实现及对原模型问题的数值解释,整个过程脉络清晰,知识点和课程布局之间的逻辑性强。但限于教材篇幅,以及教材作者和任课教师的研究背景,无论是教材中还是具体教学中多以数学推导为主,而关于实际应用的介绍较少。如何准确衔接这门课程与实际应用之间的关系,通过研究性教学使学生在该门课程中加深认识并学以致用,是教学改革中的一个极为重要的研究课题。在教学过程中,作者组织同学开展读书讨论会,并融入研究型和实践性教学模式,进行了很多有益的探索,取得了一些很好的教学效果。

2.研究型与实践性教学模式

首先,必须强调的是,与其它的数学课程一样,课堂上的理论教学是学习《微分方程数值解》的基本方式。大学教育离不开课堂教学,而课堂教学离不开教师的讲授。理论既是科学的基础,更是创新的基石,只有对理论结果及相关概念融会贯通,才能有所创新。在教材选取上面,我们用的是余德浩老师和汤华中老师主编的《微分方程数值解法》[1],并用麻省理工大学网页(http://ocw.mit.edu/OcwWeb/index.htm)上的开源英文资料作为参考。在这些英文资料中,概念、定理、定义、方法介绍、理论推导等简洁明了,读之如欣赏英文科技小品一般,对提高学生的英文水平亦有所助益。授课采用板书并结合计算机多媒体辅助教学。课前让学生阅读中文教材以掌握所学概念、定理等内容,同时对相关算法和理论知识也有一定的了解,课堂上的PPT为全英文书写,并采用中文授课。除此之外,为提高教学效果,我们还积极引入一些新的教学方式。

2.1 实践性教学模式

鉴于在先修课程《常微分方程》和《偏微分方程》中已对很多微分方程的物理背景做了较为详细的介绍,因而,大多数《微分方程数值解》教材中都对数值方法的起源及微分方程的实际应用背景着墨不多。以一阶线性波动方程为例,其可以描述很多波动现象,其中u=u(x,t)为波函数,系数表示波的传播速度,c>0则代表右行波,c<0则代表左行波。关于该方程的有限差分算法,无论c>0还是c<0,其中心差分格式都不稳定。计算数学家Lax和Friedrichs将其中心差分格式中的ujk改写为之后,即得到著名的格式

该格式不仅条件稳定,即要求,而且对许多双曲型方程特别是守恒率,都有很好的计算结果。不仅如此,通过Lax-Friedrichs格式的研究,学者们还发展了有限差分格式的耗散和色散等数学理论。教学中,教师通过讲解多个实例问题,让学生自己阅读文献并设计算法及上机编程,可弥补教材中实践性内容不足的缺憾。

2.2 研究型教学模式

在本科生的教学中,《微分方程数值解》课程主要学习两部分内容。一是常微分方程的数值解法,如Euler法、Runge-Kut-ta法和线性多步法,以及解的存在唯一性、稳定性和收敛性等。二是偏微分方程(其中又分椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程三大类)的数值解法,如有限差分方法、有限元法、有限体积法和谱方法,以及算法的相容性、收敛性和稳定性分析。其中有限差分法和有限元法是本课程学习的重点,而关于算法的收敛性和稳定性分析则是本课程学习的难点。要熟练掌握这两种数值方法及其稳定性和收敛性分析,并在此基础上学习一些其它数值求解方法,除了加强实践性训练以外,就是组织学生参与一些小的科研训练,以科研为导向提高学生们的学习兴趣并加深学生们对算法的理解及应用。教师在实践性教学环节,可以结合自己承担的科研项目,根据自身的科研经验,适当引入计算数学中的一些前沿热点问题,引导学生查找和阅读一些科研论文和资料,进行分组讨论并合作撰写小论文,使学生对科研过程有一个较为具体的切身体验,培养学生的科研能力并学会以科研的高度来学习本课程中的数值算法及其稳定性、收敛性分析。比如,作者在教学中就曾引入高维线性Schrodinger方程的数值求解,从方程的物理背景、方程导出、方程特征、算法设计、算法的局部截断误差、稳定性、收敛性、程序设计及实现、物理现象的数值模拟等各个方面让学生全程参与,通过阅读文献、分组讨论、撰写小论文来切身感受科研的过程并进而熟练掌握课程中的各种数值算法。与此同时,通过这样的教学过程,可引导学生对计算数学和应用数学的学习并提高他们的研究兴趣,发现并培养有志于从事计算数学或应用数学研究的优秀青年学者。

3.结语

综上,在《微分方程数值解》课程的教学中,若能灵活运用本文中所介绍的方法,并结合经典的教学方法(比如多媒体教学方法、数值实验教学、板书推导等)可极大改善本课程的教学效果。

参考文献:

[1]余德浩,汤华中.微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,2002.


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