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数学教育要让学生表达数学促进思维发展

作者:蓝醒威 字数:3597  点击:

[摘要]数学的教育目标是要通过知识的探究和问题的解决过程,让学生表达数学,促进思维的发展。笔者的做法:一是说数学事件,发展形象思维;二是说推理的过程,发展演绎思维;三是说算的过程,发展综合思维;四是说解题思路,发展转换思维。这样,就有效地发挥“说数学”对思维的促进功能,将大大激发学生的数学思考,促进思维发展,提升思维品质。

[关键词]数学教育;学生;表达数学;思维发展

著名教育专家指出:“当思维不能被外化表达时,它是内隐的、混沌的和被动的;当思维能够被外化时,它是清晰的、自主的。”换句话说,就是如果思维过程及思维策略能被清楚地数学地表达,则它被理解的可能性和范围就大大增加。因此,将课堂让位于学生,引导学生从直观思维、抽象思维、推理思维等切入,并在生动有效的情境中得到应有的发展,才能让学生沿着思维的阶梯拾级而上,推动思维品质的成长,学生才能从思维中获得应有的发展。

一、说数学事件,发展形象思维

表象是思维生长的起源,是思维活动的参照物,而数学表象的积累多取自直观形象。[1]因此,教学中让他们在脑海中积累丰富的数学表象,发展数学直观思维,也是为直观思维过渡到抽象思维做准备。如四年级下册“植树题”,可先让学生对情境中的数学事件说一说,通过一些道路绿化的情境,唤醒学生的生活体验,再出示植树情境图(如图1),让学生对“路长”“间隔数”“间距”和“种树棵数”等数学信息有更加深刻的理解。

如“在一条长10米的路上种树(两端都种),每2米种一棵,种了6棵树”;我们把10米叫路长,2米就是间距,树和树之间有5段距离,这就是间隔数,6棵树种出来就是5个间隔。同学们通过讲述情景的体验,对植树问题的直观表象有了更快更深的感悟,有效地理解了“路长”“间隔数”“间距”和“种植棵数”等要素之间的数量关系,并对构建植树模型问题积累了直观的思考。

二、说推理过程,发展演绎思维

合情推理是目前数学教学中运用比较多的一种学习方法,即通过归纳、类比等过程,从现有事实出发,凭借经验和直觉来推断某些结果的能力。[2]数学公式的推导和结论的导出常常要运用“转化”“守恒”和“极限”等数学思想,进行合情推理的归纳。所以教学中要充分让学生说数学推理的过程,这样才能让他们深度地理解数量之间的变化依据、变化方向和变化结果。

如《圆的面积》教学中,在借助多媒体动画演示圆的剪拼过程后,数学说理就尤为重要了(如图2)。老师让学生说推理过程:

生1:把一个半径为R的圆平均分成8份,再分成上下各4份,经过拼接得到一个近似的平行四边形;

生2:把一个圆平均分成16份,然后分成上下各8份,同样可以拼成一个近似的平行四边形。

生3:把一个圆平均分成32份,拼接在一起也可以得到一个近似平行四边形。

生4:我发现:把一个圆平均分的份数越多,拼起来得到的图形与近长方就越接近!根据无限分思路,可以推理:把一个圆平均分成64份、128份、256份……最后拼起来就会得到一个长方形。

生5:因为长方形的面积=长×宽,而长方形的长就是圆的周长的一半:即  ,也就是πr,因为,长方形的宽就是圆的半径r,所以长方形的面积是πr×r=πr2,即圆的面积是πr×r=πr2。因此我们就可以得到,圆的面积计算公式:s=πr2。

生6:……

在说剪、拼的变化过程、图形转化和数量的转化过程中,一方面学生能更深刻地建立数与形的表象,也能从数学表述中感悟形与量的双重变化依据,理解数量的转化路径,建立面积计算的数理模型。当然最可贵的是学生的演绎推理得到引领和培养,同时,也使数学转化的思想方法得到有效的渗透。

三、说运算过程,发展综合思维

数学思维的培养和发展离不开说算的过程,即既让学生说算法又让学生说算理。数学教育,常常要让学生说方法,从不同的方法中感受方法的数学支持和数学本质,做到“唯有源头活水来”,这样方能引领学生领悟为什么可以这样算的道理,发展综合思维。

如《两位数乘两位数》的教学中,老师结合点子图让学生圈一圈和算一算后,让学生对照算式说一说(如图3)。

师:14×2是表示什么?

生:14×2指的是2套的数量。

师:14×10表示什么?

生:14×10指的是10套的数量

师:140+28又表示什么?

生:140+28是10套加2套的数量,一共168本。

师:你认为应该如何计算两位数乘两位数呢?

生:先用个位乘,然后用十位数乘,再把积相加。

在这个过程中,老师有层次式地说:第一,说说你的计算方法“要先算什么,后算什么,再算什么”;第二,“说说每一步的算式表示什么意义”;第三,“说说完整的计算过程,抽象计算算理”。在教学过程中老师始终重视学生在计算过程中的数学说理,引导学生用数学语言来表述计算方法中所指向的数学思维,用算法催生算理,达到对算理的理解和建构,同时,发展了学生综合思维。

四、说概括过程,发展抽象思维

数学教学应注意培养学生的抽象能力,要有意识引导学生概括学习过程中的观察、操作、比较、分析、综合等活动,[3]通过启发式的提问引导学生进行概括,并在概括的表述中逐步发展抽象思维。

首先,从演示与操作中概括。直观的演示与操作等,为学生的概括减少了难度,有效的操作能促进学生思维向纵深发展,学生用数学语言简要地描述动手操作的过程,将显性的数学现抽象概括出抽象的数学语言。在教学三年级上册“长方形和正方形的周长计算”中,首先,让学生尝试通过折叠长方形和正方形的纸片,对比和测量长方形和正方形的各条便,验证其各自的特征。其次,提供可拆卸的长方形学具(长、宽分别是7㎝、5㎝),以精简的语言、数学公式或文字,鼓励学生对长方模的周长展开不同的运算探究,描述自己的探究过程和发现。一些学生通过测量四条边的方法,列出算式为:7+5+7+5=24㎝;另一些学生通过对折纸片发现,长方形的对边长度一样,列出算式为:7×2+5×2=24㎝;还有一些学生通过拆装拼装,找出了长方形是有两组长加宽的和,列出算式为:(7+5)×2=24 ㎝。在成果分享阶段,老师引导学生比较与归纳,逐步抽象出长方形周长的公式为:(长+宽)×2。再引导学生探究正方形的周长,得到公式为:边长×4。在这一系列的亲历知识的内化活动中,学生通过语言去描述操作过程,抽象思维得到了发展。

其次,从小结与评价中概括。在每一次的探究活动之后,让学生自主地小结所学知识,说说自己的体会与收获。学生在叙述之前,就需要有条理、有根据地进行思考,需要比较完整的思考过程。学生在小组汇报后,教师给予纠正和补充。这样,学生表达能力得到了发展,在尝试中获得了成功,抽象思维能力得到了发展。

五、说解题思路,发展转换思维

数学思维品质是学生数学思维发展的最高境界,也是数学思维发展水平的重要标志。它包括了数学思维的灵活性、敏捷性、批判性、深刻性和独创性等。[4]如“用一块体积是48cm3的橡皮泥做成等底面积等高圆柱和圆锥,圆柱的体积是(   ),圆锥的体积是(   )。”

在这个问题的解决思路中,学生中出现了多种多样的想法:①通过画图,发现圆柱与圆锥的底部面积相等,高也相等,圆柱的体积是圆锥的3倍,可以将圆柱看成3个圆锥,这样一个圆柱和一个圆锥合起来就可以看成4个圆锥,48÷(3+1)=12,所以圆锥的体积是12cm3,圆柱的体积就是12×3=36cm3。②画图认识到:一个圆柱与一个圆锥等底面积等高,圆柱的体积是圆锥的3倍,把圆锥看成1份,那么圆柱就是3份,共有4份,每一份就是48÷(3+1)=12,圆锥的体积就是1份是12,圆柱的体积就是3份12×3=36cm3。③底面积等高的圆锥的体积是圆柱体积的   ,圆柱的体积是48÷   =36cm3,圆锥36×   =12cm3。当然还有其它的一些思考,这里不再赘述。

语言是表征数学过程、数学方法和数学思维的重要工具,也是形象思维上升为数学其它思维的“垫脚石”和“催化剂”。高品质数学课堂需要多维思考和多元思维,需要老师真正地让位,把说的机会留给学生,让他们说出想法,说出方法,说出思考的过程,从而发展多种思维形式或敏捷、独特、广阔、可逆、发散等思维品质。

参考文献

[1]谢石月.小学数学模型思想的渗透策略——以一年级上册“减法”的教学片段为例[J].小学教学参考,2017(29):26-27.

[2]杨宇.小学生数学合情推理能力的现状调查及教学策略研究[D].沈阳师范大学,2018.

[3]杨文格.立体几何中主体性教学策略的实践探究[D].西南师范大学,2002.

[4]李元君.为拓展学生数学思维搭建平台[J].教育实践与研究,2005(06):40-43.


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