作者：张彩红 常春艳
　　摘 要：本文为了探究大学“带余除法定理”是否会影响数学师范生对小学有关余数概念的理解，对数学师范生展开了问卷调查。通过调查分析，发现大学中《初等数学研究》或《初等数论》的学习影响了数学师范生对小学“有余数的除法”这一知识的理解，同时发现小学数学教材对余数概念的定义不明确。为了增强数学师范生对小学余数概念的认知，本文对数学师范生的培养提出一些建议。
　　关键词：小学教材;数学师范生;余数
　　一、 调查背景和目的
　　在一次给小学生补习数学的时候，笔者发现小学人教版教材“有余数的除法”中余数不能为0，而在本科阶段学习的《初等数学研究》或《初等数论》中，“带余除法定理”是这样描述的：设a∈Z，b∈Z，则存在两个正整数q和r，使a=bq+r（0≤r<b）成立，并且这样的q和r是唯一的。为什么在小学教学中余数不能为0，而在大学课本中0却是余数呢？这引起笔者的疑惑。
　　在小学教材中，“有余数的除法”是在学生已经学习了“表内除法”的基础上教授的，即学生在学习“有余数的除法”之前，学习的除法都是没有余数的。“0不是余数”可以很好地把除法分为“有余数的除法”与“没有余数的除法”。如果0作为余数，那么在学生的认识中，就会错误地认为他们所接触的除法都是有余数的除法，就没有“没有余数的除法”和“有余数的除法”的区别了。
　　那么数学师范生对余数概念的理解是怎样的呢？大学“带余除法定理”的学习是否会影响数学师范生对小学余数概念的理解？数学师范生对小学教材“有余数的除法”这一知识点的了解程度如何？本文笔者就这些问题出发，调查数学师范生对余数概念的认识，通过分析数学师范生对余数概念的认知情况，了解到当下数学师范生的学科知识水平和教学水平，最后给数学师范生在大学期间的学习提出一些建议，希望未来对中小学生的教育更能贴合学生的认知水平。
　　二、 调查内容和方法
　　本次调查根据调查目的和要求将调查内容确定为：
　　（1）调查目的：数学师范生对余数概念的理解现状;大学“带余除法定理”的学习给数学师范生理解小学余数概念造成的影响;数学师范生对小学教材“有余数的除法”的了解状况。
　　（2）调查方法：本次调查采用问卷调查的形式。
　　（3）调查对象和地点：问卷调查对象为大一到大四的数学师范生，调查地区包括江门、广州。笔者采用网络问卷的形式，共回收问卷182份，问卷回收率为100%，其中有效问卷共有165份，问卷有效率为91%。
　　三、 调查结果与分析
　　根据本次调查的目的，笔者将调查结果划分为三个方面进行分析，问卷具体情况如下：
　　從问卷数据可以看到，超过70%的数学师范生已经修完《初等数学研究》或《初等数论》这两门课程，即已经学习过“带余除法定理”，从表3的数据可以看出，学过《初等数学研究》或《初等数论》的数学师范生，主动去了解小学教材“有余数的除法”的相关知识的人数达到了107名，而不了解小学教材“有余数的除法”的相关知识的人数仅有22名。从现状一和现状二可看到，学过“带余除法定理”的数学师范生中，有很大部分的人认为小学教学中，0也是余数，这说明大学“带余除法定理”的学习影响了数学师范生对小学教材有关余数概念的理解，即大学教学中0是余数，使部分数学师范生认为小学教材中0也是余数。除此之外，从现状一可看到，即使数学师范生已经了解小学教材，对小学余数概念的认识还是存在一些偏差。下面笔者将会从小学数学教材关于“有余数的除法”的编排、关于“有余数的除法”的网络资料以及余数概念的本质的探讨这几个方面进行分析并探讨得到上面调查结果的原因。
　　（一）小学数学教材关于“有余数的除法”的编排
　　根据前面的分析，我们可能会疑惑：为什么数学师范生已经了解过小学教材“有余数的除法”的知识，还是会认为0也是余数呢？对于部分数学师范生在已经了解小学教材的情况下还认为余数有0的情况，笔者认为导致这种现状的一个原因可能是小学教材对余数概念的界定不够清晰。笔者翻阅人教版、北师大版、苏教版的小学教材，发现这三个版本的小学教材对余数概念的界定都没有一个明确的阐述，即都没有关于“余数不能为0”的表述。本文通过分析人教版、苏教版以及北师大版有关“有余数的除法”的内容，对此问题进行分析。下面是三个教材版本“有余数的除法”的描述情况：
　　从表4可以看到，三个版本的教材都有将余数和除数作比较，但是对于0不是余数并没有给出特定的说明。比如人教版的教材中，当有8根或12根木棒时，刚好木棒可以构成正方形，此时式子是整除，应该没有余数，但教材中并没有说明整除的时候是没有余数的，这可能使部分数学师范生，甚至是部分小学生也会认为8根木棒或12根木棒时，余数为0。因此，部分数学师范生虽然已经了解过小学教材，也容易对余数概念的认识发生偏差。
　　（二）关于“有余数的除法”的网络资料
　　随着科技的发展，使用网络资源给我们生活、工作以及学习等方面带来巨大的帮助，好的网络资源有助于我们的学习，但部分错误的网络资料可能会阻碍我们的学习。网络是数学师范生寻找学习资料的一个渠道，大多数学师范生会选择在大学期间给中小学生补习，由于网上部分资料关于余数试题存在一些错误，会影响数学师范生对小学余数概念的理解。如下面某份卷子出现矛盾的两道题：
　　对于第一道题，当某个数能够被2整除时，得到0也是余数的结果，，即0也是余数;但从第二道题来看，当被除数能够被除数整除时，没有余数，即0不是余数，这样互相矛盾的题目会影响数学师范生对余数概念的认识，甚至影响小学生对余数概念的认识。
　　（三）针对余数概念的本质进行探讨
　　内涵和外延是概念的两大特征。内涵是概念所反映事物的本质属性，外延是概念所反映事物的范围。余丽娜在小学教材中提到：“余数有着特定的内涵和外延，对于小学生来说，余数的内涵可表征为平均分后剩下的零头;外延是指概念所指代的所有元素”。事实上，在《小学数学教师手册》（人民教育出版社，1982年）第49页有写到0≤r<b，而小学教学规定“余数不为0”是为了方便小学生理解余数的现实意义。根据皮亚杰认知发展理论，7-12岁的学生处于具体运算阶段，这个阶段儿童的思维性质是内化的和可逆的。小学教学中，“有余数的除法”是在小学生已经学习过整除的基础上呈现的，当出现不能除尽时，引入了“余数”这一概念，使小学生容易接受。反过来，当除不尽时，出现余数，当能够除尽时，即整除，此时没有余数。因此小学余数概念的界定是为了符合小学生的认知水平，小学余数概念是指平均分后剩下的部分。如果在小学教学中0也是余数，那么小学生很难区分“有余数的除法”以及“没有余数的除法”。依据小学生的认知水平以及针对教材的不足，笔者认为小学教材在“有余数的除法”这一小节应该特别规定当能够整除时，没有余数。