摘 要：高中数学课堂教学应以数学核心素养为导向，立足于课本教材，充分挖掘课本例题、习题资源，培养学生的数学思维能力。注重逻辑推理，有较强的复杂运算能力，发散思维，以期面对新的高考、新的学习。
　　关键词：数学课本;核心素养;高考
　　高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。在学习了等差数列、等比数列的基本知识之后，再次翻开课本前面的内容，充分利用课本资源，适度拓展和延伸，激发学生的学习兴趣。文章先从一道课本例题谈起。
　　一、 课本例题
　　【例1】 （课本例3，文[2]第31页）：设数列{an}满足a1=1，an=1+1an-1（n>1）。
　　写出这个数列的前5项。
　　显然，按照递推公式，这里求解是机械的、容易的。已经学过的等差数列、等比数列的通项公式都可以看作是递推公式，那么例1有没有通项公式？如果有，怎样求解？
　　二、 不动点
　　（一）不动点的概念
　　设函数f（x），若f（α）=α，则称α是f（x）的不动点。
　　在数列{an}中，若an=f（αn-1）（n>1），α是f（x）的不动点，则称α是{an}的不动点。
　　（二）不动点与数列通项
　　关于函数不动点与数列通项公式之间的关联，，通过简单的数学变换即可推证。与例1相关的结论表述如下：
　　设函数f（x）=ax+bx+c（a，b，c∈R，ac-b≠0）。数列{an}，若a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1），那么：
　　（1）若f（x）有两个不同的不动点α，β，则有
　　an+1-αan+1-β=k·an-αan-β，
　　其中k=a-αa-β ①
　　（2）若f（x）有唯一一个不动点α，则有
　　1an+1-α=1an-α+k，
　　其中k=2a+c ②
　　（3）若f（x）没有不动点，则数列{an}具有某种周期性。
　　实际上，上述结论的得到是容易的，可以引导学生示意性的推导，以期提高他们的运算推理能力，培养他们的探索创新能力。其他各种形式的不动点与数列通项公式的关联，无非就是an+1-α与an-α（α为不动点）的各种组合、变形，以期得到熟悉的等差、等比数列，进而求得其通项公式。
　　其实，（3）若f（x）没有不动点，那它必有两个不同的复数根，这样完全可以归结为（1）。甚至（1）中也可以只选一个不动点，变形处理即可。
　　三、 例1的通项公式
　　考虑f（x）=1+1x=x+1x，由f（x）=x得f（x）有两个不同的不动点α=1-52，β=1+52，又a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1）。
　　（一）用两个不动点
　　比照①式，
　　k=1-1-521-1+52=-3+52，
　　从而
　　an+1-1-52an+1-1+52=-3+52·an-1-52an-1+52，
　　这是一个新的等比数列，其中首项a1-1-52a1-1+52=1-1-521-1+52=-3+52，
　　于是
　　an-1-52an-1+52=-3+52·（-3+52）n-1，
　　解之
　　an=12·（1-5）n+1-（1+5）n+1（1-5）n-（1+5）n ③
　　（二）用一個不动点
　　现在选用一个不动点，作差处理。取α=1-52，
　　由an+1-1-52=an+1an-1-52=1+52·an-1-52an，
　　取倒数
　　1an+1-1-52=an1+52·an-1-52=5-32·1an-1-52+5-12。
　　这里涉及另一种类型的不动点，即f（x）=dx+e（d≠0，1），f（x）有不动点δ，则对应数列{bn}（bn=f（bn-1）（n>1）），有bn+1-δ=d（bn-δ），从而出现一个新的等比数列。
　　我们接着处理例1，有
　　1an+1-1-52-55=5-32·1an-1-52-55。
　　这里构造了一个新的等比数列，类似于3.1后半段，可以解出
　　an=1-52+5·22n22n+（-1）n-1·（1-5）2n ④
　　四、 例1的变式
　　【例2】 设数列{an}满足a1=2，an=2-1an-1（n>1）。
　　求数列{an}的通项公式。
　　考虑f（x）=2-1x=x，得数列{an}有唯一一个不动点1，比照②式即可求出an=1+1n。
　　【例3】 （课本习题2.1A组4（2），文[2]第33页）：写出数列{an}的前5项：a1=-14，an=1-1an-1（n>1）。
　　这个数列没有不动点（方程f（x）=1-1x=x无实数根），事实上由简单计算，a1=a4=-14，它具有周期性。
　　为了激发学生的兴趣，拓展学生的视野，可以对例1继续变式：写出数列{an}的前5项：a1=1，an=3an-1-7an-1-3（n>1）。易见数列{an}有两个不同的不动点，故可比照①式写出它的通项公式;很明显它还具有周期性（a1=a3=1）。
　　五、 教学启示
　　（一）用好课本，注重通解通法
　　用不动点处理数列的通项公式，课本中虽未提及，但它具有通解通法性，而且学生完全可以套搬套用。适当运用不动点，可以避免解题的盲目性、增强解题的方向感。有利于激发学生学习数学的兴趣，提高教师教学的实效性。技高不压人，常常会有意外的惊喜。