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例谈初中数学基础知识教学

作者:李健 向金华 字数:2062  点击:

[摘要]数学思维能力是数学学科核心素养的核心,而数学理解能力又是数学思维能力的基础和动力。数学基础知识是数学的基石,对数学基础知识的直接、全面、深入理解是培养学生数学理解能力的核心。在平时的教育教学实践中,必须重视并探究基础知识的教学。笔者认为可以尝试从“名、形、质”三个层次去探究。

[关键词]名、形、质;基础知识;数学探究

现代数学教学理论认为数学教学是数学思维过程的教学。数学思维能力是数学学科核心素养的核心。而数学理解能力则是数学思维能力的基础和动力。数学理解能力源于对数学基础知识的直接、全面、深入理解和掌握。在教学实践中,对基础知识的教学,不少教师不重视、不研究,有一带而过,甚至直接告知的现象,本人在前二十年的教学生涯中也是如此,直到2016年数学学科核心素养发布后,我开始重视基础知识的教学,并进行了有意识的探索,然后有所感悟。在此,本人以例谈的方式,从“名、形、质”三个层次分享数学基础知识教学探究。

一、“名”指数学基础知识(概念、性质、公式、结论、基本思想)的名称,可以从字面、字义去理解,也可以从背景去理解,属直接理解

例1 “三线八角”的“同位角,内错角,同旁内角”。

如图,直线l1,l2被第三条直线l3所截,形成∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7,∠8。∠1位于l1上方,l3左侧,简记(上,左),∠2位于l2上方,l3左侧,简记(上,左),即∠1与∠2的位置方位同为(上,左),同理∠4与∠3的位置方位同为(下,右),∠7与∠5的位置方位同为(上,右),∠6与∠8的位置方位同为(下,左),因此,我们便形象地认为∠1与∠2,∠4与∠3,∠7与∠5,∠6与∠8为一对同位角。同理∠2与∠4,∠5与∠6均在l1,l2之间(内部),且分别在l3的异侧,因此,我们可形象地认为:∠2与∠4,∠5与∠6为一对内错角(在内部,错开)。至此,同旁内角学生自然就可以理解。

例2 三角形与圆的“切”“接”关系、“内”“外”关系。

在学习过程中,学生是很难弄清楚“切”“接”关系和“内”“外”关系。要让学生理解这两个问题,首先是要理解“切”“接”字义,其次是弄清参照物。“切”从刀,是直线(切)与圆的位置关系,“接”是碰,触之意,是点与圆的位置关系。

(1)圆在三角形外(或三角形在圆内)

此时就可以得出:△ABC有外接圆,或圆有内接△ABC。

(2)圆在三角形内。

此时就可以得出:△ABC有内切圆,或圆有外切△ABC。

由(1)(2)可知:三角形只有内切圆、外接圆,而无外切圆和内接圆,圆只有内接三角形和外切三角形,而无内切三角形和外接三角形。

二、“形”指数学基础知识的“外在”或“表象”,是叙述结构、图形结构和数量结构,即相对稳定的数学关系,属全面理解

例3 同类项合并法则:字母和字母的次数不变,将同类项的系数相加。

在教学实践过程中,有许多学生,甚至不少老师都认为:同类项合并就是系数相加(减)。出现这种错误理解,实际上是没有将“多项式”概念弄清楚。几个单项式(至少有一个不为同类项)的和就叫多项式。所以合并同类项时,只能是系数相加(符号已含在单项式的系数中)。

三、“质”是指数学基础知识的内涵与外延,要让学生真正理解数学基础知识的内在关系和与外部的关联,属深入理解

例5 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

对于这个结论,表面看很简单,我们要让学生深入理解,并不容易。

如图,∠ABC = 90°,M,N分别为AB,BC边上的动点,且MN=4,E为MN中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2,求MN在运动过程中,DE的最小距离。

本例就是找到符合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的模型:“直角三角形,斜边上的中线,斜边长一定”。

例6 直径所对的圆周角为直角。

对这个结论,学生觉得好证,也好理解,可要深入理解,还是不容易。

如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,求CP的最小值。

分析:对于动点问题,学生往往觉得很难,无法确定适合条件的动点位置。解决这个问题,首先要引导学生建立动点就是某一时刻的定点的意识,其次是找出动点的轨迹,且找动点的轨迹是关键。

该题的数学问题情境看似简单,关键条件∠ABC=90°,∠PAB=∠PBC,引导学生分析这两个条件,并寻找到它们背后隐藏的数学关系:

至此,发现∠APB为直角,且斜边AB长度不变。回到“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”模型处。而这个也可以从“弦长为直径,圆周角为直角”这个模型去构造圆,从而达到解决问题的目的。

参考文献

[1]马小为.初中数学有效教学[M].北京:北京示范大学出版社,2015.

[2]李平.新课程背景下初中数学概念教学之策略[J].数学大世界:教师适用,2021(10):29.

[3]唐玲.浅谈初中的数学基础知识的教学[J].初中数学教与学,2019(04):13-15.


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