［摘要］数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，是高中“三新”改革中的重要课程内容。在进行探究活动的过程中，发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。由此可见，数学探究活动是发展学生核心素养的重要载体。

目前，数学课堂教学中普遍出现的数学探究活动的模式是问题导学，主要是在教师的引导下，开展数学探究活动，因为课堂时间有限、重结论轻过程等原因，探究活动往往难以深入，学生缺少充分经历探究活动的体验，主动探究的意识和能力得不到发展，思维能力提升有限，核心素养的培养难以落地。

基于以上认识，在进行《超几何分布》的教学实践中，积极搭建学习交流平台，转变教学方式，在课堂内外始终坚持让学生更充分地经历探究活动，促进学生数学核心素养的发展。

［关键词］数学探究活动；核心素养

一、基于UbD理论的学习目标设计

“如果目的地未定，那怎么走都行。”UbD理论告诉我们，最好的设计应该是“以终为始”，从学习结果开始的逆向思考，先关注学习结果，再注重探究活动，这样才能促进理解和发展学生的学科素养。

《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，由于数学高度抽象的特点，要注重体现基本概念的来龙去脉。”

《超几何分布》是人教A版选择性必修第三册的一节知识内容，在学习了随机变量分布列、两点分布和二项分布后，再次学习的特殊概率分布模型，可把它作为古典概型和排列组合知识的一个应用；另一方面它也是解决产品抽样中次品数分布规律和不放回摸球游戏中概率问题的有力工具，有利于学生通过知识迁移、对比分析，更好地掌握研究分布列及其性质的方法。

基于UbD理论，制定本节课的学习目标如下：

1.通过三个概率问题，学生探究归纳超几何分布概率模型的共同特征，对概念进行第一次抽象即文字表述的抽象，发展学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养；

2.通过例题学习，学生结合古典概型和组合知识，探索超几何分布的概率表示及其特征，并通过把数字字母化，找到模型，进行第二次抽象即符号表示的抽象，发展数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养；

3.通过例题辨析，学生对超几何分布问题中变量取值的两类情况对比分析，进行概念完备性的第三次抽象即合并抽象，发展思维的严谨性；

4.借助信息技术研究超几何分布中几个关键量对概率分布的影响，体会所学知识可以用来进行中奖率的调控等，感受数学知识是有用的及数学内在的和谐统一美。

二、围绕目标达成的探究活动设计

本节课对数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等能力有较高要求，在学习过程中，从实际问题中抽象出超几何分布的定义是数学概念建构的过程，要求能概括模型的本质特征，体现理论的一般性，学生探究归纳有一定难度。

笔者首先设计了课前复习巩固活动1-3，有助于学生开展自主学习，铺垫知识基础，便于知识的理解和迁移。

活动1：写一写离散型随机变量的分布列如何求解，如何表示？

学生自主探究和合作探究相结合，列出变量的所有取值，求变量取每一个值的概率，表示分布列（表格、解析式）。P（X = xi） = pi，i = 1， 2， …，n表示X的分布列。

【设计意图】学生回顾离散型随机变量的概念，求解步骤以及表示方法，为接下来探究离散型随机变量的分布列，抽象某种特殊的分布列模型进行铺垫，发展学生数学抽象的核心素养。

活动2：研究下列三个分布列问题，想想它们有什么异同点，你会想到用哪些知识解决问题？抽取方式、概率计算方法和概率分布有规律吗？

（1）已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列。

（2）在含有5件次品的100件产品中，任取3件，其中恰有X件次品，求X的分布列。

（3）在含有4粒皱皮豌豆的10粒豌豆中，任取2粒，其中恰有X粒皱皮豌豆，求X的分布列。

【设计意图】学生通过对比研究，体会抽取方式不同所得到的两种分布列，能结合古典概型的计算公式和计数原理，表示出X取每一个值的概率，进而得到X的分布列。

在课堂上，通过学生展示讲解探究结果，从抽取方式、概率计算方法和概率分布的规律等方面去探索超几何分布。体会理解以下两点：1.“任取k件”等价于从所有产品中依次不放回地任取k件，或者理解为一次性任意取出k件，从而确定用组合来计算事件数；2.总产品实际可看作两类，一类是我们所关心的次品（或皱皮豌豆），另一类是非次品（或非皱皮豌豆），从而分成两类。

活动3：在学生分享探究结果的同时，引导观察概率计算的规律性，进而引入字母表示解析式，为发现共同特征，抽象概念作好铺垫，发展学生的逻辑推理和数学抽象的核心素养。

追问1：X的分布都是二项分布吗？

追问2：你能总结一下，这种分布列有什么共同特征吗？概率求解有什么特点？能用字母一般化表示吗？

【设计意图】学生在充分经历了探究过程后，进行反思总结，通过不断描述来强化超几何分布的特点，是从包含两类事物（关心的与不关心的）的有限个总体中依次不放回（或一次性）地任取，求所关心的对象抽取件数的分布列。学生在不断完善自己的研究成果的基础上，实现对概念的第一次抽象即文字表述的抽象，发展学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养。

三、重视探究过程落实发展核心素养

活动4：投影表格，学生通过小组合作学习，总结归纳引例的共同特点，完成2个学习目标。总结问题是什么？具有如下共同特征：1.可看作由两类元素（关心的与不关心的）构成的有限个总体；2.依次不放回（一次性）任取；3.抽到关心的事物的件数的分布列；进而抽象问题主干“在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品”。总结概率共同特征：1. X的取值都是从0，1，2，…，n.  2.概率的分母都为CNn.  3.当X = k时的概率的分子为CMkCN-Mn-k.从而归纳概括出

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

【设计意图】理解概念引入参数m的必要性，完成对概念完备性的第三次抽象即合并抽象，发展学生思维的严谨性。这里给出了一个数学模型，按照模型化思想，如果随机变量X服从超几何分布的，只需要确定M， N， n的数值，代入公式计算即可.

活动6：知识应用  在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和5个白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出3个球，至少摸到1个红球就中奖。

（1）求恰好摸到1个红球的概率；

（2）求中奖的概率。

【设计意图】辨析应用概念，加深对超几何分布模型的认识与理解，用模型化思想解决问题，进一步明确概念中的几个参数的含义和取值确定，可以使用公式来研究概率分布。

学生在探究中发现摸出红球个数X服从超几何分布，突出解决问题的模型化思想，学生准确找到M， N， n，理解实验用模型求解随机变量X的分布列即可.

活动7：如果要将这个游戏的中奖概率控制在 左右，那么应该如何设计摸奖游戏规则？

现在中奖的概率约为0.917，太高了，你觉得应该怎么调呢？

【设计意图】用准备好的GeoGeBra软件，设置好五个变量，学生运用信息技术改变变量取值，感受五个量中变化M， N， n， k的值，都可以实现对中奖概率P的调控，如果已知其中的4个，则可以求出另一个的值来完成符合要求的设计方案，让学生讲变化的规律和练习不同中奖率的设计方案，体会数学知识是有用的。

四、教学实践反思

教师重视数学探究活动的教学，能促使学生以亲历者的身份，历经模拟当初数学家探索与发现数学知识的过程，通过观察、抽象、类比等数学化的过程，猜测、探求数学结论或规律，从而进行数学的再发现、再创造，其实质是让学生对已有数学知识与学习经验的回顾、构建和重组，形成系统的数学学科整体的知识体系，真正意义上发展学生的数学核心素养。

引导学生主动发现、探究、建构，让学生在活动中能自主地学习知识、分析问题、解决问题，让学生真正动起来，做数学，学数学，用数学，进而在生活中发现问题，乐于研究。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]章建跃，李增沪.普通高中教科书数学选修第三册（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]任伟芳.“探究与发现”高评价低利用引发的思考[J].中学数学，2021（11）：80-83.

[4]陈利利，张曜光.“用向量法研究三角形的性质”教学设计、教学反思与点评[J].中学数学教学参考，2020（13）：24-30.