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初中数学中几何意识渗透的思维路径建构之策略研究

作者:考试周刊 字数:4000  点击:

  作者简介:李强(1984~),男,汉族,浙江杭州人,浙江省杭州市萧山区信息港初级中学,研究方向:初中数学教育教学。
  摘 要:几何意识的渗透总是与思维的发展融合在一起的,没有思维含量的几何课堂是不可想象的。基于此观点,文章以2022年版初中数学课程标准的理念为指引,从几何解题教学的现状出发,着眼于几何意识渗透与思维路径建构优化衔接的研究视角,在对现行教材中几何内容梳理的基础上,结合几何解题教学实践,整体构建了从个体知识梳理、课堂优化内涵两个层面的认识与操作策略体系。
  关键词:几何意识;基本构图;思维路径
  中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-8918(2022)50-0086-04
  
  在数学解题应用中,几何图形与代数运算内容,彼此体系独立,又互相联系。学生在面对这一系列问题的困惑时,教师被学生提问频率最高的问题是什么?
  如在平面几何问题中,辅助线的添加始终是一个学习中的难点,学生往往会问:
  “老师,你看到这个问题是如何想的?我怎么想不出来?”“老师,添辅助线有规律吗?”……
  这样的提问,那老师又应该怎么回答呢?
  笔者在调研中发现,教师往往会讲:“添辅助线有常法而无定法。”这里的“常法”是什么?“定法”又是什么?有的更是回答:“添辅助线就是拿到一道题目,先添一条试试看,不行再添一条试试,多试几次总会成功的。”显然,老师所做的回复根本无法解决学生在解题过程中出现的困惑。
  因此,任何离开对图形本质研究的分析方法,都不可能在数学教学中取得成功。
  当然也有老师在教学中会采用,诸如:“我们怎么证明两条线段相等呢?
  要证明两条线段相等,可以应用全等三角形;
  可以证明这两条线段都和第三条线段相等;
  可以应用同一三角形中的等角对等边;
  可以应用比例性质等。”
  在实际教学中,没有一位老师是能够列举完的,一般都是列举了几条就结束了,那为什么列举到这里就刹车了呢?
  显然,教师也无法把问题解决过程的本质思想讲清楚。
  从思维的角度来看,这里应用的是列举的方法,属于扩散思维的范畴,无论哪一位教师都不可能进行完美、毫无遗漏的列举。另外,假设有老师将所有的可能性都列举了出来,但由于其中的相当一部分可能性对这个具体问题的解决来说,又是毫无价值的,因为这也确实会包含许多无效的思维和努力。然而实质性的问题还不仅仅是在这里,关键的问题是当你列举出了这样许多方法或可能性以后,对具体的题目来说,你是怎样做出选择的?又是根据什么来做出这样的选择的?
  一、“几何意识渗透”“思维路径”是什么?
  (一)对“几何意识渗透”的概念诠释
  意识:人的头脑对客观物质世界的反映,是感觉、思维等各种心理过程的总和,其中的思维是人类特有的反映现实的高级形式。存在决定意识,意识又反作用于存在。
  几何意识:是一种基本的数学素养。在这一过程中,几何把图形的空间结构及性质作为研究对象,用图形说话,用图形描述问题,用图形讨论、研究和解决问题。
  几何意识渗透:在一定的学习情景下,强调学生是认知主体,是知识意义的主动建构者。在具体的几何课程中,教师引导学生对已经学过的几何概念、性质和图形特点具体化、形象化、概念化,形成学生自己的知识系统、几何理解。尤其在问题解决的过程中,学生依据新经验对原有经验本身做出主动的调整和改变,使同化和顺应两方面有机地统一起来。
  (二)对“思维路径”的认识理解
  思维路径:即思路。它是人脑中的预测能力系统,在大脑中产生朝向目标的倾向性,进而实现目标的计划和方法。从认知心理学层面来说,它是在问题空间中进行搜索,以便从问题的初始状态达到目标状态的思维过程。
  在几何解题教学过程中,几何背景及问题呈现的多样化,致使学生对问题盲从、无所适从。为了引导学生找到行之有效的思路建构的有效方法策略,笔者在分析图形与几何类问题后发现:这一类问题,往往存在一些组成一个问题最简单、最重要、最基本的,且又具有特定性质,并能明确地阐明应用条件和应用方法的基本构图。
  二、几何意识渗透的思维路径建构策略
  (一)“类比-同构”,打通个体知识联系的堵点
  1. 从几何知识的同构性出发,做横向类比
  ※从运算理解的同质性出发,做对比
  在初中数学中存在不少几何概念,其几何形态不一样,但是从代数运算的关系表述的本质是一样的,如:线段与角的和差、线段与角的平分(或n等分)这一组概念,几何形象完全不一样,但是研究这一类问题的代数方式却是一样的,如下例所述。
  『背景问题1:在7点与8点之间,时针与分针在什么时刻互相垂直?』
  分析:这个问题实际上是行程问题中的追及问题。可知分针、时针每分钟旋转的度数分别为6°、0.5°,从方程视角设从7点开始x分钟后时针与分针的夹角为90°,此时分针、时针旋转的度数分别为6x°、0.5x°。分别如图1-1、图1-2所示,揭示了分针超过时针前、超过后90°的情形,可列出方程:|210+0.5x-6x|=90,进而解决问题。
  可以看到,背景问题中几何形态的本质是角的和差问题,类比行程问题,再通过指针(边)的旋转来理解夹角为90°的几何状态,学生理解起来比较困难。分析过程中,借助代数运算(方程)模型的同质性,用线段和差的视角,利用这一种知识的同质性,利用线段图的方式,转换问题表述的几何形态,降低理解的入口,这一做法,无疑是有益的。
  ※從逻辑体系的类同性出发,做对比
  不妨从特殊平行四边形与特殊三角形这两个几何概念模块做一下类比,可以引导学生从概念布局的整体视野,活化思考几何问题解决的具体策略运用。


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